20 de septiembre de 2009

Álgebra y minerales cristalinos

¿Por qué los minerales cristalinos están agrupados en unos pocos sistemas cristalográficos, de hecho sólo 7?

Normalmente, preguntas con una formulación tan directa como ésta suelen tener respuestas muy complejas. Sin embargo, éste no es caso y la respuesta es sencillamente porque lo impone el hecho de que vivimos en un espacio tridimensional, 3D.

Los minerales cristalinos están compuestos (idealmente) por grupos de átomos ordenados en redes. Esta redes deben cumplir unas "reglas espaciales" impuestas por las simetrías de translación que al mismo deben ser consistentes con las simetrías de rotación y reflexión.

Las operaciones de translación, rotación, etc., quedan perfectamente representadas dentro del Álgebra Lineal y forman estructuras algebraicas denominadas grupos (en este caso finitos).

Los matemáticos han estudiado con gran profundidad los grupos, tanto finitos como continuos, y sus propiedades. Con ellos se han desarrollado (y aún) partes importantes de la Física Moderna como, por ejemplo, la Electrodinámica Cuántica (QED), donde Relatividad y Electromagnetismo encajan a la perfección.

Pues bien, utilizando toda la maquinaria del Álgebra de grupos finitos es posible demostrar que un ordenamiento atómico periódico tridimensional ideal sólo es compatible con 7 grupos cristalográficos y 230 grupos espaciales. ¡Toma ya!

Los musulmanes que vivieron en Granada fueron capaces de representar en los mosaicos de las paredes de la Alhambra (con mucha antelación) todos los grupos espaciales existentes en dos dimensiones, 2D. ¿Cuántos sistemas cristalográficos y grupos espaciales hay en 2D? Y, ¿cuántos sistemas cristalográficos habría si viviéramos en un mundo de cuatro dimensiones espaciales, 4D?

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